协变导数与相互作用

伴向量丛上的协变导数$D_{\mu}=\partial_{\mu}+\omega_{\mu}$，其中$\omega_{\mu}=\omega_{\mu}^{a}I_{a}$为主丛上的联络，$I_{a}$为主丛结构群$G$的生成元，即$G$的Lie代数$\mathfrak{g}$的基，满足Lie括号关系$\left[I_{a},I_{b}\right]={C^{c}}_{ab}I_{c}$，${C^{c}}_{ab}$为$\mathfrak{g}$的结构张量（结构常数）。

伴向量丛上任意元素$\psi=\psi^{a}e_{a}$的协变导数为$D_{\mu}\psi^{a}=\partial_{\mu}\psi^{a}+\omega_{\mu b}^{a}\psi^{b}=\partial_{\mu}\psi^{a}+\omega_{\mu}^{c}{\left(I_{c}\right)^{a}}_{b}\psi^{b}$。

将场$\psi$的自由拉氏量$\mathcal{L}_{0}=\mathcal{L}_{0}\left(\psi,\bar{\psi},\partial\psi,\partial\bar{\psi}\right)$中的普通导数改为协变导数，即$\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\psi,\bar{\psi},D\psi,D\bar{\psi}\right)$即可出现相互作用，这从对称性的角度看就是将整体规范对称性推广为局域规范对称性，而从几何的角度看则是将平凡主丛上的几何学推广为非平凡主从上的几何学。

以Dirac场为例，自由Dirac场的拉氏量为

此拉氏量具有两个不变性——整体洛伦兹不变性和整体$U(1)$不变性。若将整体洛伦兹不变性推广为局域洛伦兹不变性，则会出现引力场；若将整体$U(1)$不变性推广为局域$U(1)$不变性，则会出现电磁场。这里为了简单起见仅考虑局域$U(1)$不变性。此时拉氏量变为

当然，为了完整起见还需要加上电磁场的自由拉氏量，即Yang-Mills拉氏量

所以旋量电动力学的完整拉氏量为