$\newcommand\Brac[1]{\left(#1\right)} \newcommand\Bracc[1]{\left[#1\right]} \newcommand\Braccc[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand\ii{\mathrm{i}} \renewcommand\cal{\mathcal} \renewcommand\scr{\mathscr} \newcommand\bb{\mathbb} \newcommand\|[1]{\left.#1\right|} \newcommand\st{\,\mathrm{s.\!t.}\,}$

抽象积分

可测空间与可测集

$X$ $\cal{A}\subset 2^X$ $\Brac{X,\cal{A}}$ , 若其满足

$\emptyset\in\cal{A}$ ;
$X-\cal{O}\in\cal{A},\forall \cal{O}\in\cal{A}$ ;
$\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{\infin}\cal{O}_i\in\cal{A},\forall \cal{O}_i\in\cal{A}$ ,

$\Brac{X,\cal{A}}$ $\cal{A}$ $X$ $\cal{A}$ $\cal{A}$ 来衡量的可测集, 在不引起混淆的情况下也可简称为可测集.

可测映射

$\Brac{X,\cal{A}}$ $\Brac{Y,\cal{B}}$ $f:X\to Y$ $f$ 满足

\begin{matrix} (1) & f^{- 1} [U] \in A, \forall U \in B, \end{matrix}

$f$ 为可测映射.

测度

测度的定义

$E$ $V$ $\Brac{X,\cal{A}}$ $\mu:\cal{A}\to E$ 满足

\begin{matrix} (2) & μ (\cup_{i = 1}^{\infty} O_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} μ (O_{i}), \forall O_{i} \in A & O_{i} \cap O_{j} = \emptyset, \forall i \neq j, \end{matrix}

$\mu$ $\Brac{X,\cal{A}}$ $E$ $\mu$ $\Brac{X,\cal{A}}$ $\Brac{X,\cal{A},\mu}$ .

$E$ $\bb{R}-\Brac{-\infin,0}$ $\mu$ $E$ $\bar{\bb{R}}=\bb{R}\cup\Braccc{\pm\infin}$ $\mu$ $E$ $\bb{C}$ $\mu$ $\mu$ $\mu\Brac{E}=1$ $\mu$ $E$ $\bb{F}$ $\mu$ 为向量值测度.

$E$ $\underline{0}$ $\emptyset\cap\emptyset=\emptyset$ $\mu\Brac{\emptyset}=\mu\Brac{\emptyset\cup\emptyset}=\mu\Brac{\emptyset}+\mu\Brac{\emptyset}$ $\mu\Brac{\emptyset}=\underline{0}$ .

诱导测度

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D\subset X$ $X$ $D\in \cal{A}$ $D$ $\cal{A}$ $\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D$ 上的可测结构和测度. 具体方法为:

$Y\subset D\subset X$ $\exist \cal{O}\in \cal{A}\st Y=D\cap\cal{O}$ $Y$ $D$ $Y$ $\cal{A}_D=\Braccc{Y\subset D\mid \exist\cal{O}\in\cal{A}\st Y=D\cap\cal{O}}$ $\cal{A}$ $D$ $\cal{A}_D$ 确实满足可测结构的要求.
$\mu$ $D$ $\|{\mu}_D$ , 并规定
$\begin{matrix} (3) & {μ |}_{D} (\cup_{i = 1}^{\infty} U_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} {μ |}_{D} (U_{i}), \forall U_{i} \in A_{D} & U_{i} \cap U_{j} = \emptyset, \forall i \neq j, \end{matrix}$
$\|{\mu}_D$ $\mu$ $D$ $\|{\mu}_D$ 确实满足测度的要求.

通常测度

$\bb{R}$ $\left[a,b\right)$ $\mu\Brac{\left[a,b\right)}=b-a$ , 这称为通常测度.

积分

简单函数的积分

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $A\subset X$ $X$ $A$ $\chi_A:X\to\Braccc{0,1}$ 定义为

\begin{matrix} χ_{A} (x) = {\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} 1, x \in A; \\ 0, x \notin A, \end{aligned} \end{matrix} \end{matrix}

$D\subset X$ $D$ $S:D\to\bb{R}-\Brac{-\infin,0}$ 定义为

\begin{matrix} (7) & S (x) : = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} χ_{U_{i}} (x), a_{i} \in R - (- \infty, 0), U_{i} \in A_{D}, \forall x \in X . \end{matrix}

$S$ $\Braccc{a_i}$ $\Braccc{a_i}$ $S$ $\scr{S}$ .

若如下和式存在:

\begin{matrix} (8) & \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} {μ |}_{D} (A_{i}), \end{matrix}

$S$ $D$ $S$ $D\subset X$ 上的积分, 即

\begin{matrix} (9) & \int_{D} d μ S : = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} {μ |}_{D} (A_{i}) . \end{matrix}

非负函数的积分

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D\subset X$ $f:D\to \bb{R}-\Brac{-\infin,0}$ $D$ 上的非负函数. 若如下上确界存在:

\begin{matrix} (10) & sup {\int_{D} d μ S | S \in S & S \leq f}, \end{matrix}

$f$ $D$ $f$ $D$ 上的积分, 即

\begin{matrix} (11) & \int_{D} d μ f : = sup {\int_{D} d μ S | S \in S & S \leq f} . \end{matrix}

实变函数的积分

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D\subset X$ $f:D\to \bb{R}$ $D$ $f_+=\max\Braccc{f,0}$ $f_-=\max\Braccc{-f,0}$ $f$ $f_+$ $f_-$ $D$ $f$ $D$ $f$ $D$ 上的积分定义为

\begin{matrix} (12) & \int_{D} d μ f : = \int_{D} d μ f_{+} - \int_{D} d μ f_{-} . \end{matrix}

复变函数的积分

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D\subset X$ $f:D\to \bb{C}$ $D$ $\Re\Brac{f}=\Brac{f+f^\ast}/2$ $\Im\Brac{f}=\Brac{f-f^\ast}/2\ii$ $f$ $\Re\Brac{f}$ $\Im{f}$ $D$ $f$ $D$ $f$ $D$ 上的积分定义为

\begin{matrix} (13) & \int_{D} d μ f : = \int_{D} d μ Re (f) + i \int_{D} d μ Im (f) . \end{matrix}

向量值函数的积分

$\Brac{X,\cal{A},\mu}$ $D\subset X$ $V$ $f:D\to V$ $D$ $V$ $\Braccc{e_a}$ $f$ $f=f^ae_a$ $f^a$ $f$ $a$ $f$ $D$ 上可积, 且如下积分向量和存在并与基的选取方式无关:

\begin{matrix} (14) & (\int_{D} d μ f^{a}) e_{a}, \end{matrix}

$f$ $D$ $f$ $D$ 上的积分, 即

\begin{matrix} (15) & \int_{D} d μ f : = (\int_{D} d μ f^{a}) e_{a} . \end{matrix}